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若椭圆 ax*2+by*2=1 与直线x+y=1 交于A,B两点，M为AB中点，直线OM (O为原点）的斜率为1/2，且OA⊥OB，求椭
来源：www.zuowenzhai.com 作者：编辑 日期：2024-06-01
设A、B是椭圆x^2/4+y^2=1上的两点，O为坐标原点 若直线AB在y轴上的截距为4，且OA,OB斜率之和等于2
设A（x1，y1），B（x2，y2），将A,B代入方程
两式相减得到KAB· Kom= -a/b (点差法）
所以 a/b=1/2
∵OA⊥OB
所以 x1x2+y1y2=0，
将直线方程与椭圆方程联立，可以得到a，b关系
结合b=2a 可以求出椭圆方程
将已知两个方程，列成方程组，求得含有a,b的A(x1,,y1),B(x2,y2).再根据M点为AB的中点，求M【（x1+x2）/2，y1+y2）/2】，又k=1/2得 a,b的一个关系式，根据OA⊥OB得:x1*x2+y1*y2=0,又得a,b的一个关系式，即可求得a,b的值，得椭圆方程。
oo
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，直线AB：y=kx+4
则y1=kx1+4，y2=kx2+4
∵OA,OB斜率之和等于2
∴y1/x1 + y2/x2=2
即[(kx1+4)/x1] +[(kx2+4)/x2] =2
即k + (4/x1) + k + (4/x2)=2
2k+(4/x1 + 4/x2)=2
2k + [4(x1+x2)/x1x2]=2
k+[2(x1+x2)/x1x2]=1
联立椭圆直线得
x²/4 + y²=1
y=kx+4
(1+4k²)x²+32kx+60=0
x1+x2= -32k/(1+4k²) ，x1x2=60/(1+4k²)，(x1+x2)/x1x2= -8k/15
k+[2(x1+x2)/x1x2]=1
k-16k/15=1
k=-15
把y=1-x代入ax²+by²=1得
ax^+b(1-2x+x^)=1,
(a+b)x^-2bx+b-1=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则
x1+x2=2b/(a+b),x1x2=(b-1)/(a+b),
AB中点M(b/(a+b),a/(a+b)),直线OM的斜率为a/b=2,a=2b.
由OA⊥OB得0=x1x2+y1y2=x1x2+(1-x1)(1-x2)=2x1x2-(x1+x2)+1
=[2(b-1)-b+(a+b)]/(a+b)=(a+2b-2)/(a+b),
解得a=1,b=1/2.
∴椭圆方程是x^+y^/2=1.
设A（x1，y1），B（x2，y2），将A,B代入方程
两式相减得到KAB· Kom= -a/b (点差法）
所以 a/b=1/2
∵OA⊥OB
所以 x1x2+y1y2=0，
将直线方程与椭圆方程联立，可以得到a，b关系
结合b=2a 可以求出椭圆方程
将已知两个方程，列成方程组，求得含有a,b的A(x1,,y1),B(x2,y2).再根据M点为AB的中点，求M【（x1+x2）/2，y1+y2）/2】，又k=1/2得 a,b的一个关系式，根据OA⊥OB得:x1*x2+y1*y2=0,又得a,b的一个关系式，即可求得a,b的值，得椭圆方程。
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（编辑：薄倩朗）
