数学上的群，域，环等有什么区别和联系

群：在数学中，群表示一个拥有满足封闭性、结合律、有单位元、有逆元的二元运算的代数结构，包括阿贝尔群、同态和共轭类。
环(Ring)：是一类包含两种运算(加法和乘法)的代数系统，是现代代数学十分重要的一类研究对象。其发展可追溯到19世纪关于实数域的扩张及其分类的研究。
域：定义域，值域，数学名词，函数经典定义中，因变量改变而改变的取值范围叫做这个函数的值域，在函数现代定义中是指定义域中所有元素在某个对应法则下对应的所有的象所组成的集合。
集合：简称集，是数学中一个基本概念，也是集合论的主要研究对象。集合论的基本理论创立于19世纪，关于集合的最简单的说法就是在朴素集合论（最原始的集合论）中的定义，即集合是“确定的一堆东西”，集合里的“东西”则称为元素。现代的集合一般被定义为：由一个或多个确定的元素所构成的整体。
范围：
群、环、域都是满足一定条件的集合，可大可小，可可数 也可 不可数，一个元素可以是群『0』，三个也可以『0，1，-1』，可数的：以整数为系数的多项式（可以验证也是环），当然R也是；环不过是在群的基础上加上了交换律和另外一种运算，域的条件更强（除0元可逆），常见的一般是数域，也就是：整数，有理数，实数，复数。
群，环，域都是集合，在这个集合上定义有特定元素和一些运算，这些运算具有一些性质。群上定义一个运算，满足结合律，有单位元（元素和单位元进行运算不变），每个元素有逆元（元素和逆元运算得单位元） 例整数集，加法及结合律，单位元0,逆元是相反数， 正数集，乘法及结合律，单位元1，逆元是倒数 环是一种群，定义的群运算（记为＋）还要满足交换律。
另外环上还有一个运算（记为×），满足结合律，同时有分配律a(b+c)＝ab+ac，（a+b)c=ac+bc，由于×不一定有交换律，所以分开写。 例整数集上加法和乘法。 域是一种环，上面的×要满足交换律，除了有＋的单位元还要有×的单位元（二者不等），除了＋的单位元外其他元素都有×的逆元。 例整数集上加法和乘法，单位元0,1。

扩展资料群、环、域代数结构：
群、环、域、向量空间、有序集等等，用集合与关系的语言给出来的统一的形式。首先，由于数学对象的多样性，有不同的类型的集。
如群表示的集为G×G.实际上，群涉及的是二元运算；而向量空间表示的集为F×F→F，F×V→V，V×V→V，向量空间涉及域F中的运算，域F中的元对V中元的运算，V中元的运算.引入基本概念——“合成”(如，群的合成就是乘法运算；向量空间的“合成”有F中的元对V中元的作用乘法，V中元的加法运算)，并且，要求“合成”适合给定的公理体系，得到的就是一个数学结构。
事实上，代数结构中，所有概念均可用集合及关系来定义，即用集合及关系的语言来表述。
做为基本概念，若仅仅着眼于“合成”(即“运算”)，则这种数学结构称为代数结构，或代数系(统).换言之，代数结构(代数系)就是带有若干合成(运算)的集合。
参考资料来源：百度百科-群
参考资料来源：百度百科-域
参考资料来源：百度百科-集
参考资料来源：百度百科-环

群可解决5次以上方程没有公式解法的问题。
域可解决化学中晶体的种类问题。
域可以解决代数扩张问题。
……

（1）群：集合G上定义了二元运算记作“ * ”，满足以下四个条件:

1. 封闭性。2.结合律。3.含幺。4.有逆。

那么该集合和二元运算一起构成的代数结构（G，*）称作一个群。

（2）Abel群：二元运算还满足交换律的群。所以Abel群也叫做交换群，是一类特殊的群。二元运算记作“ + ”

（3）半群：集合上定义的二元运算，满足前两个条件：

    1.封闭性。2.结合律。

(群一定是半群，但是半群不一定是群。)

有了以上的定义，我们来看一下什么是环和域。

（4）环：设集合R上定义了两个二元运算“ + ”，“ * ”且满足

       1.（R，+）是Abel群。

        2.（R，*）是半群。

         3.两种运算满足分配率，a*（b+c）=a*b+a*c

        则集合R和两个二元运算构成的代数结构叫做环。

（5）域：环中的半群结构，满足含幺和交换律，则称作域。可见域是一种特殊的环。

综上：最大的概念是半群，群是半群的子集，Abel群又是群的子集。环是在Abel群的基础上进行“修饰”，也就是再增加一种二元运算使得集合构成半群，且两种运算满足上面提到的分配率。最后域是环的子集，要求增加的这种二元运算还要满足含幺和交换律。

（1）群：集合G上定义了二元运算记作“ * ”，满足以下四个条件:

• 封闭性。2.结合律。3.含幺。4.有逆。

那么该集合和二元运算一起构成的代数结构（G，*）称作一个群。

（2）Abel群：二元运算还满足交换律的群。所以Abel群也叫做交换群，是一类特殊的群。二元运算记作“ + ”

（3）半群：集合上定义的二元运算，满足前两个条件：

1.封闭性。2.结合律。

(群一定是半群，但是半群不一定是群。)

有了以上的定义，我们来看一下什么是环和域。

（4）环：设集合R上定义了两个二元运算“ + ”，“ * ”且满足

1.（R，+）是Abel群。

2.（R，*）是半群。

3.两种运算满足分配率，a*（b+c）=a*b+a*c

则集合R和两个二元运算构成的代数结构叫做环。

（5）域：环中的半群结构，满足含幺和交换律，则称作域。可见域是一种特殊的环。

综上：最大的概念是半群，群是半群的子集，Abel群又是群的子集。环是在Abel群的基础上进行“修饰”，也就是再增加一种二元运算使得集合构成半群，且两种运算满足上面提到的分配率。最后域是环的子集，要求增加的这种二元运算还要满足含幺和交换律。

以上为网友 cfwengf  的回答  补充一下：

（5）域：环中的半群结构，满足含幺和交换律，则称作域。可见域是一种特殊的环。

此处还应当满足有 逆元 才能称为域，即域为交换的除环

参考“Abstract Algebra Theory and Applications --Thomas W. Judson”2016版书中第182-183页

18338731701：数学上的群,域,环等有什么区别和联系
习爽垂 ：答：综上：最大的概念是半群，群是半群的子集，Abel群又是群的子集。环是在Abel群的基础上进行“修饰”，也就是再增加一种二元运算使得集合构成半群，且两种运算满足上面提到的分配率。最后域是环的子集，要求增加的这种二元运算还要满足含幺和交换律。

18338731701：数学中,群、环、域、集分别是什么?它们的范围不同吗?
习爽垂 ：答：群，环，域都是集合，在这个集合上定义有特定元素和一些运算，这些运算具有一些性质。群上定义一个运算，满足结合律，有单位元（元素和单位元进行运算不变），每个元素有逆元（元素和逆元运算得单位元） 例整数集，加法及结合律，单位元0,逆元是相反数， 正数集，乘法及结合律，单位元1，逆元是倒数...

18338731701：群环域的定义和区别
习爽垂 ：答：1、群是含一个二元运算，由单位元和逆元，而交换群（加群）是还要满足交换律，半群是群的扩展，只满足结合律。2、环是两个二元运算、对加法构成加群，对乘法构成半群，满足分配律 3、域是两个二元运算，对加法构成加群，对乘法构成非零元的交换群，满足分配律。4、半群是群的扩展，自然包括交换...

18338731701：群、域和环有什么不同的地方呢?
习爽垂 ：答：环有点像是一杯果味汽水！环也满足加法和乘法的要求，但相比域和群要少一些特性。首先，环中的加法要满足结合律和交换律，就像果味汽水中的各种成分可以随意混合和互换顺序。其次，环中的乘法要满足结合律，就像果味汽水中的泡沫可以随意混合而不会改变味道。但是，在环中乘法不需要满足交换律，就像果...

18338731701：请用通俗的语言解释一下数学中群,环,域的概念
习爽垂 ：答：群、环、域都是满足一定条件的集合，可大可小，可 可数 也可 不可数，一个元素可以是群，『0』，三个也可以『0，1，-1』，可数的：以整数为系数的多项式（可以验证也是环），当然R也是；环不过是在群的基础上加上了交换律和另外一种运算，域的条件更强（除0元可逆），常见的一般是数域，也...

18338731701：数学群满足哪些条件
习爽垂 ：答：问题二：数学上的群，域，环等有什么区别和联系 （1）群： *** G上定义了二元运算记作“ * ”，满足以下四个条件:封闭性。2.结合律。3.含幺。4.有逆。那么该 *** 和二元运算一起构成的代数结构（G，*）称作一个群。（2）Abel群：二元运算还满足交换律的群。所以Abel群也叫做交换群，...

18338731701：近世代数的"域"和"环"的本质区别,能否举具体例子?
习爽垂 ：答：域的每个非零元都可逆，非零交换体即域。（1，加法群，2，乘法群，3，加法与乘法间的相容条件--分配律）而环对乘法只要求构成半群，---（1，加法群，2，乘法半群，3，加法与乘法间的相容条件--分配律）环的限制条件与域相比相对较少，例：域--有理数域Q，实数域R ，复数域C；有限域，环...

18338731701：群,域 ,空间(线性空间)有什么区别和联系呢?
习爽垂 ：答：深入解析群、域与空间：它们的联系与区别 在数学的广阔领域中，群、域和线性空间是三个核心概念，它们各自独特，却又相互交织。群，作为代数结构的基石，以其元素的结合律和单位元定义了运算规则；域，是数的集合，以其封闭性和结合律定义了数的运算；而线性空间，则是抽象向量的家园，包含了向量的加法...

18338731701：高等数学问题:什么是域,比如数域,环又是什么呢?请形象表述,好的...
习爽垂 ：答：性质2 设S是一个数环。若a∈S ，则na∈S(n∈Z)。性质3 若M,N都是数环，则M∩N也是数环。数域性质任何数域都包含有理数域Q。即Q是最小的数域。数域：数集中的任意两个数的和、差、积、商的结果仍在数集中，则数集即为数域；数域包含0,1，并且是封闭的。一般来讲，有三种：有理数域...

18338731701：代数学中的群环域等数学结构有什么用?
习爽垂 ：答：群可解决5次以上方程没有公式解法的问题。域可解决化学中晶体的种类问题。域可以解决代数扩张问题。……