求六年级的奥数题，越难越好？

二个相邻的正方形，其中一条边在同一直线上，直线长度为20分米，现已知大正方形的面积比小正方形的面积多40平方分米，问：大、小正方形的边长各是多少？

把两个正方形的两条边对齐，重叠后，可看出大正方形比小正方形大的部分是两个长方形。一个的长是大正方形的边长，另一个的长是小正方形的长，两个的宽都是大正方形与小正方形边长的差。把这两个长方形拼成一个长方形
所拼长方形的长是大、小正方形边长的和 20分米，
面积是大、小正方形面积的差 40平方分米，
宽是大、小正方形边长的差
用40除以20的商是2分米，即大、小正方形边长的差。
用大、小正方形边长的和减去大、小正方形边长的差，再除以2，得数9分米就是小正方形的边长。说清楚了吗？

有甲乙丙三种货物。若购甲3件，乙7件，丙1件共花3.15元，若购甲4件，乙10件，丙1件共花4.2元，现购甲、乙、丙各1件，共须多少元？这道小学奥数题怎样用小学的方法解答，要有详细的解题过程。望高人指点，多谢啦啊~~~~~~

（1）3a+7b+c=315
4a+10b+11c=420

12a+28b+4c=1260
12a+30b+33c=1260

2b+29c=0

b=c=0
a=105

105分=1.05元

（2）设甲的价格为x,乙的价格为y,丙的价格为z,
那么得到的方程就是:
3x+7y+z=3.15 （1）
4x+10y+z=4.20 （2）
x=0.15
y=0.3
z=0.6
所以购买甲乙丙一件就是1.05元

如果从甲仓库搬67吨货物到乙仓库,那么甲仓库的货物正好是乙仓库的2倍；如果从甲仓库搬17吨货物到乙仓库，那么甲仓库的货物正好是乙仓库的5倍，原来两仓库各存货物多少吨？
67×(2+1)-17×(5+1)
=201-102
=99（吨）
99÷〔(5+1)-（2+1）〕
=99÷3
=33（吨）答：原来的乙有33吨。
（33+67）×2+67
=200+67
=267（吨）答：原来的甲有267吨。
分析：
1、如果从甲仓库搬67吨货物到乙仓库,那么甲仓库的货物正好是乙仓库的2倍；
甲和乙总的数量没有变，总的数量包括2+1=3个现在的乙，现在的乙是原来的乙加上67得来。所以总的数量就包括3个原来的乙和3个67〔67×(2+1)=201〕。
2、如果从甲仓库搬17吨货物到乙仓库，那么甲仓库的货物正好是乙仓库的5倍，
理由同上，总的数量包括5+1=6个原来的乙和6个17（即17×(5+1)=102）
3、从1和2可看出，原来3个乙和原来6个乙只相差3个乙，而这三个乙正好相差201-102=99吨。可求出原来的乙是多少，99÷3=33吨。
4、再求原来的甲即可。

甲每小时行12千米,乙每小时行8千米.某日甲从东村到西村,乙同时从西村到东村,以知乙到东村时,甲已先到西村5小时.求东西两村的距离
甲乙的路程是一样的,时间甲少5小时,设甲用t小时
可以得到
1. 12t=8(t+5)
t=10
所以距离=120千米

小明和小芳围绕着一个池塘跑步，两人从同一点出发，同向而行。小明：280米/分；小芳：220/分。8分后，小明追上小芳。这个池塘的一周有多少米？
280*8-220*8=480
这时候如果小明是第一次追上的话就是这样多
这时候小明多跑一圈...

1.用3.5.7.0组成一个两位数,( )乘( )的积最大.( )乘( )的积最小.
2.有一些积木的块数比50多,比70少,每7个一堆,多了一块,每9个一堆,还是多1块,这些积木有多少块?
3.6盆花要摆成4排,每排3盆,应该怎样摆?
4.4(1)班有4个人参加4X50米接力赛,问有多少种不同的安排方法?
5.能否从右图中选出5个数,使它们的和为60?为什么? 15 25 35
25 15 5
5 25 45
6.5饿连续偶数的和是240,这5个偶数分别是多少?
7.某人从甲地到乙地,先骑12小时摩托车,再骑9小时自行车正好到达.返回时,先骑21小时自行车,再骑8小时摩托车也正好到达.从甲地到乙地如果全骑摩托车需要多少时间?
1 70*53最大 30*75最小
2 64块
3 五角星形
4 4*3*2*1=24
5不能，因为都是奇数，奇数个奇数相加不可能得偶数
6.240/5=48，则其余偶数是：48-2=46，48-4=44，48+2=50，48+4=52
7.摩托车的速度是xkm/h,自行车速是ykm/h 。
21y+8x=12x+9y
4x=12y
x=3y
所以摩托车共需12+9/3=15小时

第十二讲 容斥原埋


在很多计数问题中常用到数学上的一个包含与排除原理，也称为容斥原理.为了说明这个原理，我们先介绍一些集合的初步知识。

在讨论问题时，常常需要把具有某种性质的同类事物放在一起考虑.如：A=｛五（1）班全体同学｝.我们称一些事物的全体为一个集合.A＝{五（1）班全体同学}就是一个集合。

例1 B＝｛全体自然数｝=｛1，2，3，4，…｝是一个具体有无限多个元素的集合。

例2 C=｛在1，2，3，…，100中能被3整除的数｝＝（3，6，9，12，…，99｝是一个具有有限多个元素的集合。

集合通常用大写的英文字母A、B、C、…表示.构成这个集合的事物称为这个集合的元素.如上面例子中五（1）班的每一位同学均是集合A的一个元素.又如在例1中任何一个自然数都是集合B的元素.像集合B这种含有无限多个元素的集合称为无限集.像集合C这样含有有限多个元素的集合称为有限集.有限集合所含元素的个数常用符号|A|、|B|、|C|、…表示。

记号A∪B表示所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合.就是右边示意图中两个圆所覆盖的部分.集合A∪B叫做集合A与集合B的并集.“∪”读作“并”，“A∪B”读作“A并B”。




例3 设集合A=｛1，2，3，4｝，集合B=｛2，4，6，8｝，则A∪B=｛1，2，3，4，6，8｝.元素2、4在集合A、B中都有，在并集中只写一个。

记号A∩B表示所有既属于集合A也属于集合B中的元素的全体.就是上页图中阴影部分所表示的集合.即是由集合A、B的公共元素所组成的集合.它称为集合A、B的交集.符号“∩”读作“交”，“A∩B”读作“A交B”.如例3中的集合A、B，则A∩B=｛2，4｝。

下面再举例介绍补集的概念。

例4 设集合I=｛1，3，5，7，9｝，集合A=｛3，5，7｝。



补集（或余集），如右图中阴影部分表示的集合（整个长方形表示集合I）.










对于两个没有公共元素的集合A和B，显然有|A∪B|=|A|+|B|。

例如，A=｛1，2，…，100｝，B=｛101｝，则



所以|A∪B|＝101＝100＋1=|A|＋|B|。

如果集合A与B有公共元素，例如

A＝｛1，2，…，100｝，B＝｛90，91，…，101｝，则A∩B＝（90，91，…，100｝，A∪B={1，2，…，101}.此时，|A∪B|与|A|+|B|有什么关系呢？在这个例中，|A∪B|=101，|A|＋|B|＝100＋12=112。

所以|A∪B|=|A|+|B|-11

我们注意到，11恰为A∩B的元素个数.这是合理的，因为在求|A∪B|时，90，91，…，100这11个数各被计入一次，而在求|A|＋|B|时，这11个数各被计入两次（即多算了一次），并且这11个数组成的集合恰为A∩B.因此得到

|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|，（1）

这就是

关于两个集合的容斥原理：集合A与B的并的元素个数，等于集合A的元素个数与集合B的元素个数的和，减去集合A与B的交的元素个数。

（1）是容斥原理的第一个公式.我们还可以用右图来说明.如图我们用N1、N2、N3分别表示A∪B中互不重叠的部分的元素个数。可见：|A|=N1＋N3，|B|=N2＋N3，|A∩B|=N3.因此|A∪B|=N1＋N2＋N3＝（N1＋N3）+（N2＋N3）-N3=|A|+|B|-|A∩B|。




我们知道，当集合A与B没有公共元素时，有

|A∪B|＝|A|+|B|.

实际上这是公式（1）的特殊情形，因为此时



例5 桌上有两张圆纸片A、B.假设圆纸片A的面积为30平方厘米，圆纸片B的面积为20平方厘米.这两张圆纸片重叠部分的面积为10平方厘米.则这两张圆纸片覆盖桌面的面积由容斥原理的公式（1）可以算出为：｜A∪B｜=30＋20-10＝40（平方厘米）。

例6 求在1至100的自然数中能被3或7整除的数的个数。

分析 解这类问题时首先要知道在一串连续自然数中能被给定整数整除的数的个数规律是：在n个连续自然数中有且仅有一个数能被n整除.根据这个规律我们可以很容易地求出在1至100中能被3整除的数的个数为33个，被7整除的数的个数为14个，而其中被3和7都能整除的数有4个，因而得到

解：设A=｛在1～100的自然数中能被3整除的数｝，

B＝｛在1～100的自然数中能被7整除的数｝，则

A∩B=｛在1～100的自然数中能被21整除的数｝。

∵100÷3＝33…1，∴｜A｜＝33。

∵100÷7＝14…2，∴｜B｜=14。

∵100÷21＝4…16，∴｜A∩B｜=4。

由容斥原理的公式（1）：｜A∪B｜＝33＋14-4=43。

答：在1～100的自然数中能被3或7整除的数有43个。

例7 求在1～100的自然数中不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个？

分析 如果在1～100的自然数中去掉5的倍数、6的倍数，剩下的数就既不是5的倍数也不是6的倍数，即问题要求的结果。

解：设A＝｛在1～100的自然数中5的倍数的数｝，

B=｛在1～100的自然数中6的倍数的数｝，


数.为此先求｜A∪B｜。

∵100÷50=20，∴｜A｜=20

又∵100÷6＝16…4，∴｜B｜=16

∵100÷30＝3…10，

∴｜A∩B｜=3，

｜A∪B｜=｜A｜+｜B｜-｜A∩B｜=20＋16-3＝33。



答：在1～100的自然数中既不是5的倍数又不是6的倍数的数共67个。

我们也可以把公式（1）用于求几何图形的面积.这时，A和B是平面上的两个点集（即点的集合），都是几何图形.｜A｜，｜B｜，…分别表示A的面积，B的面积，…。

例8 设下面图中正方形的边长为1厘米，半圆均以正方形的边为直径，求图中阴影部分的面积。




分析 如图，四个直径为1厘米的半圆不但盖住了正方形，还有四个重叠部分.这正好是要求的阴影部分的面积.或者，用A表示上、下两个半圆，用B表示左、右两个半圆，则A∪B为边长为1厘米的正方形，A∩B为图中阴影部分.由（1）可得

｜A∩B｜=｜A｜+｜B｜-｜A∪B｜，

因此可求出阴影部分的面积。

解法1：∵大正方形面积=4个直径为1厘米的半圆面积-阴影图形面积

-1×1＝0.57（平方厘米）。











∴上页图（a）中阴影面积=0.57（平方厘米）。

答：阴影面积为0.57平方厘米。

上面的例子是把一组事物按两种不同的性质来分类后，求具有其中一种性质的元素个数问题.如果把一组事物按三种不同性质来分类后，求具有其中一种性质的元素个数的公式该是什么样的呢？我们仍用图形来说明它具有与公式（1）类似的公式：

｜A∪B∪C｜=｜A｜＋｜B｜＋｜C｜-｜A∩B｜-｜A∩C｜-｜B∩C｜＋｜A∩B∩C｜， （2）

其中A∪B∪C=A∪（B∪C），A∩B∩C=A∩（B∩C）.

右图中三个圆A、B、C分别表示具有三种不同性质的集合，并如图用M1、M2、M3、…、M7表示由三个圆形成的内部互不重叠的部分所含元素的个数，可见：




｜A∪B∪C｜＝M1＋M2+…＋M7

＝（M1＋M4＋M6＋M7）+（M2＋M4＋M5＋M7）+（M3＋M5＋M6＋M7）-[（M4+M7）+（M5+M7）+（M6＋M7）]＋M7

＝｜A｜＋｜B｜＋｜C｜-｜A∩B｜-｜B∩C｜-｜A∩C｜+｜A∩B∩C｜，

即公式（2）成立。

事实上这个规律还可推广到按多种性质来分类的情形.设集合M中的每个元素至少具有t种性质中的一种，用n1表示各个具有1种性质的集合中的元素个数的和，n2表示各个具有2种性质的集合中元素个数的和，…，nt表示具有t种性质的集合中元素的个数，则集合M中元素的个数m为：

m=n1-n2＋n3-n4+…±nt

最后一项当t为偶数时取“-”号，否则取“＋”号。

例9 某校有学生960人，其中510人订阅“中国少年报”，330人订阅“少年文艺”，120人订阅“中小学数学教学报”；其中有270人订阅两种报刊，有58人订阅三种报刊.问这个学校中没有订阅任何报刊的学生有多少人？

解：设A＝｛订“中国少年报”的学生｝，

B=｛订“少年文艺”的学生｝，

C=｛订“中小学数学教学报”的学生｝，

I=｛全校学生｝，



=212（人）。

答：全校有212名学生没订阅任何报刊。





解：如右图，设这次竞赛共有k道题，用集合A、B分别表示甲、乙答错的题目.图中字母a、b、c、d分别表示集合A、B在全部题目作成的集合I中形成的各个无重复部分的元素个数，可见d为问题所求.依题意列方程：




注意到a、b、c、d均表示题目的道数，应为自然数或零，因此k为12的倍数：12、24、….



∴k=12，b＝1，c＝2，a=1，d=12-（a＋b＋c）=12-（1＋2＋1）=8（道）。答：甲、乙两人都对的题共8道。

13965339035：急求六年级超难的奥数题、要十分十分难的.还要有答案.
伊钓侵 ：答：1.一辆大货车与一辆小轿车同时从甲地开往乙地,小轿车到达后立即返回,返回时速度提高50％.出发2小时后,小轿车与大货车第一次相遇,当大货车到达乙地时,小轿车刚好走到甲乙两地中点.小轿车在甲乙两地往返1次需要多长时间?时间一定各自的速度不变,则路程比等于速度比.设小轿车原速为单位1,现速为150％....

13965339035：求六年级的奥数题,越难越好?
伊钓侵 ：答：1、金工车间有两班职工，甲班职工比乙班职工少9人，因工作需要，从甲调出3人到乙班，这时甲班职工比乙班少3/8，两个班原来各有职工多少人？（9+3×2）÷3/8-3=37（人）乙班 37-9=28（人）甲班 2、光明小学六年级上学期男生人数占总人数的55%，今年开学初转走了3名男生，又转来了3名女...

13965339035：小学六年级比较难的奥数题
伊钓侵 ：答：29/{[(6+42)/(42/6 - 1)] + 6 + 42 + 3 + (42+3)/(42/3 -1) } * [(6+42)/(42/6 - 1)+6] = 6.5千米 甲班学生需要步行6.5千米 可画图理解：线段AF上从左到右有点BCDE，过程：甲到B、车带乙到D，乙下车，车返回到C时，甲由B到C、乙由D到E；车带甲由C到F...

13965339035：10道很难小学六年级很难的奥数题(有答案)很难的
伊钓侵 ：答：A、60 B、45 C、36 D、40 答案a 2、有甲乙丙丁4人，每3人的平均年龄加上余下一人的年龄分别为29、23、21和17，这4人中最大年龄与最小年龄的差是多少？ 答案18 .一辆大轿车与一辆小轿车都从甲地驶往乙地。大轿车的速度是小轿车的速度的80%。已知大轿车比小轿车早出发17分钟，但在两地重...

13965339035：六年级最难的奥数题,别写答案!
伊钓侵 ：答：1.甲、乙玩猜数游戏。甲在心中想好一个1000以内的数，乙只许问“比某数小吗？”甲只回答“是”或“不是”。那么乙最少问几次就一定能猜中这个数？2.现有700粒相同的珍珠和1粒外形相同、重量略轻的假珍珠，用一台天平至少称几次，就一定能把这粒假珍珠挑出来？3.某校开运动会，学校给同学们...

13965339035：小学奥数题,六年级,随便出一道,按难度给分,越难越好
伊钓侵 ：答：2、把一个长方形的长增加5dm,宽增加8dm,得到一个面积比原长方形多181平方分米的正方形,求正方形的边长是多少?3、快中慢三辆车同时从同一地点出发沿同一条路追赶一位骑车人,这三辆车分别用了6分钟,10分钟,和12分钟追上骑车人,已知快车每小时行驶24千米,慢车每小时行驶19千米,求中车每小时行驶...

13965339035：求几道六年级的奥数题,越难越好,今天晚上就要,类型不要太单一,打广告的...
伊钓侵 ：答：【分析】设每人可免费携带X千克行李．一方面，三人可免费携带3X 千克行李，三人携带150千克行李超重(150-3X)千克，超重行李共付4元行李费；另一方面，一人携带150千克行李超重 (150-X)千克，超重行李需付行李费8元．根据超重行李每千克应付的钱数相同，可列方程：所以...

13965339035：史上最难奥数题 六年级的
伊钓侵 ：答：3.希望小学低年级人数的4/5比中年级人数多1/4，中年级人数的3/4是高年级人数的4/3，低、高年级人数各是中年级人数的几分之几？如果全校有2000人，低中高年级各有多少人 4.小明、小红共有50张邮票，若小明拿出1/3给小红，小红再拿出1/2给小明，这时小明的邮票张数和小红的邮票张数的比是7；...

13965339035：小学6年级数学难一点的奥数题+答案
伊钓侵 ：答：1. 6分之1+12分之1+24分之1+48分之1+96分之1+192分之1 =1/6×（1+1/2+1/4+1/8+1/16+1/32）=1/6×（1-1/32）=1/6-1/192 =31/192 2. 1+1/（1+2）+1/（1+2++3）+……+1/（1+2+3+……+n)=2*【1/2+1/2*（1+2）+1/2*（1+2++3）+……+1/2...

13965339035：六年级数学奥数难题,越多越好
伊钓侵 ：答：工程问题 1．甲乙两个水管单独开，注满一池水，分别需要20小时，16小时.丙水管单独开，排一池水要10小时，若水池没水，同时打开甲乙两水管，5小时后，再打开排水管丙，问水池注满还是要多少小时？ 2．一项工程，第一天甲做，第二天乙做，第三天甲做，第四天乙做，这样交替轮流做，那么恰好用整数...