高数 等价无穷小数 a^x-1=xlna 的证明

根据洛必达法则=(a^x-1)/x/lna=a^x=1
洛必达法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法 。众所周知，两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限可能存在，也可能不存在。
因此，求这类极限时往往需要适当的变形，转化成可利用极限运算法则或重要极限的形式进行计算。洛必达法则便是应用于这类极限计算的通用方法 。
扩展资料：
在运用洛必达法则之前，首先要完成两项任务：一是分子分母的极限是否都等于零(或者无穷大)；二是分子分母在限定的区域内是否分别可导。
如果这两个条件都满足，接着求导并判断求导之后的极限是否存在：如果存在，直接得到答案；如果不存在，则说明此种未定式不可用洛必达法则来解决；如果不确定，即结果仍然为未定式，再在验证的基础上继续使用洛必达法则。
若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。
洛必达法则是求未定式极限的有效工具，但是如果仅用洛必达法则，往往计算会十分繁琐，因此一定要与其他方法相结合，比如及时将非零极限的乘积因子分离出来以简化计算、乘积因子用等价量替换等等。
参考资料来源：百度百科--洛必达法则

把a^x-1在0点进行泰勒展开，a^x-1=1+xlna+o（x^2）,lim(a^x-1)/xlna=lim(xlna+o(x^2))/xlna=1
所以是等价无穷小量

证明如下：

e^x~x

lim（x→0）(a^x-1)/xlna=lim（x→0）(e^xlna-1)/xlna

设t=xlna

当x→0，t→0

所以原式=lim（t→0）e^t-1/t=t-1/t=1

所以a^x-1的等价无穷小是xlna

等价无穷小的意义：

等价无穷小一般只能在乘除中替换，在加减中替换有时会出错（加减时可以整体代换，不一定能随意单独代换或分别代换）。

被代换的量，在取极限的时候极限值为0；被代换的量，作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换，但是作为加减的元素时就不可以。

^lim(x->0) (a^x-1)/xlna

令a^x-1=t

x=loga(1+t)

所以原式=lim(t->0) t/【loga(1+t) ×lna】

=lim(t->0) t/【ln(1+t) 】

=lim(t->0)1/【ln(1+t)^(1/t) 】

=1/lne

=1/1

=1

所以等价。

例如：

把a^x-1在0点进行泰勒展开

a^x-1=1+xlna+o（x^2）

lim(a^x1)/xlna=lim(xlna+o(x^2))/xlna=1

所以是等价无穷小量

扩展资料：

求极限时，使用等价无穷小的条件 ：

被代换的量，在取极限的时候极限值为0；

被代换的量，作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换，但是作为加减的元素时就不可以。

有界函数与无穷小量之积为无穷小量。

特别地，常数和无穷小量的乘积也为无穷小量。

恒不为零的无穷小量的倒数为无穷大，无穷大的倒数为无穷小。

参考资料来源：百度百科-等价无穷小