（a∧x）-1和谁是等价无穷小？

把a^x-1在0点进行泰勒展开，a^x-1=1+xlna+o（x^2）,lim(a^x-1)/xlna=lim(xlna+o(x^2))/xlna=1
所以是等价无穷小量

证明如下：
e^x~x
lim（x→0）(a^x-1)/xlna=lim（x→0）(e^xlna-1)/xlna
设t=xlna
当x→0，t→0
所以原式=lim（t→0）e^t-1/t=t-1/t=1
所以a^x-1的等价无穷小是xlna
等价无穷小的意义：
等价无穷小一般只能在乘除中替换，在加减中替换有时会出错（加减时可以整体代换，不一定能随意单独代换或分别代换）。
被代换的量，在取极限的时候极限值为0；被代换的量，作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换，但是作为加减的元素时就不可以。

和xIna是等价无穷小。

（a∧x）-1=（a∧x）-（a∧0）=由拉格朗日=（a∧ξ）lna（x-0），其中ξ介于0和x之间，那么（a∧ξ）约等于1。

等价无穷小替换是计算未定型极限的常用方法，它可以使求极限问题化繁为简，化难为易。

求极限时，使用等价无穷小的条件：

被代换的量，在取极限的时候极限值为0；

被代换的量，作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换，但是作为加减的元素时就不可以。

扩展资料：

1、有限个无穷小量之和仍是无穷小量。

2、有限个无穷小量之积仍是无穷小量。

3、有界函数与无穷小量之积为无穷小量。

4、特别地，常数和无穷小量的乘积也为无穷小量。

5、恒不为零的无穷小量的倒数为无穷大，无穷大的倒数为无穷小。

和xIna是等价无穷小。

用第一章的知识解答

关键在于复合函数的替换和log换底公式

前提是证明了In(1+X)~X(这个的证明看同济版P64，a=e代入)

x忘换成t了，不过不影响

（a∧x）-1 = （a∧x）- （a∧0） =由拉格朗日 = （a∧ξ ）lna（x-0），其中ξ 介于0和x之间，那么（a∧ξ ）约等于1.

也就是原式子 约等于 xlna

hitwh levi

如图所示，满意请采纳

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